подільність цілих чисел
Парні і непарні числа
Задача 1. Шістнадцять корзин розмістили по кругу. Чи можна в них розкласти 55 кавунів так, щоб кількість кавунів у будь-яких двох сусідніх корзинах відрізнялась на 1?
Аналізуємо:
Якщо кількості кавунів у двох сусідніх корзинах відрізняються одна від одної на 1, то це два посідовні натуральні числа. Одне з них є парним числом, а інше непарним. Їхня сума є числом непарним. Чи можна розкласти кавуни в корзини так, щоб в будь-якій парі сусідніх корзин загальне число кавунів було непарним? 16 корзин утворюють 16:2=8 пар сусдніх корзин. У кожній парі корзин непарне число кавунів, а число пар парне. Виникає гіпотеза про неможливість такого розкладання кавунів
Розв'язання
Припустимо, що необхідне розміщення можливе. Тоді матимемо 8 пар сусідніх корзин. У кожній парі сусідніх корзин непане число кавунів, бо кількість кавунів у них відрізняється на 1. Оскільки сума двох непарних чисел є числом парним, то загальне число кавунів у будь-яких чотирьох, а відтак і у восьми корзинах є числом парним. Вона не може дорівнювати 55. ЗЗроблене припущення є неправильним. Отже. таке розміщення кавунів неможливе.
Відповідь: не можна.
Подільність на 2, 3, 5 ...
Задача 2. На подвір'ї було 11 дівчаток і 9 хлопчиків. Яке найменше число хлопчиків і дівчаток має до них приєднатись, щоб їх усіх можна було поділити на 5 груп з однаковим числом хлопчиків і дівчаток у кожній групі?
Аналізуємо:
Щоб у 5 групах було днакове число дівчаток, загальне число дівчаток має ділитись на 5. Такий самий висновок стосується і числа хлопчиків. Отже. потрібно до дівчаток, що є на подвір'ї, приєднати таке найменше число дівчаток, щоб їх загальна кількість ділилась на 5. Це стосується і числа хлопчиків.
розв'язання:
Число 11 не ділиться на 5. Найближче до нього число,яке ділиться на 5, дорівнює 15. Оскільки 15-11=4, то приєднавши 4 дівчинки до дівчаток, що знаходяться на шкільному подвір'ї, отримаємо групу дівчаток, яку можна розділити на 5 рівних груп.
Число 9 не ділиться на 5. Найближче до нього число, яке більше від нього і ділиться на 5, дорівнює 10. Оскільки 10-9=1, то приєднавши одного хлопчика до хлопчиків, що знаходяться на шкільному подвір'ї отримаємо групу хлопчиків, яку можна поділити на 5 рівних груп.
Отже, одного хлопчика і чотирьох дівчаток потрбіно приєднати до тих, що знаходяться на шкільному повір'ї, щоб їх можна було розділити на 5 груп з однакови числом хлопчиків і дівчаток у кожній групі. Ці числа є найменшими, оскільки використовувались числа, найближчі до 11 і 9 такі, що діляться на 5.
Число 9 не ділиться на 5. Найближче до нього число, яке більше від нього і ділиться на 5, дорівнює 10. Оскільки 10-9=1, то приєднавши одного хлопчика до хлопчиків, що знаходяться на шкільному подвір'ї отримаємо групу хлопчиків, яку можна поділити на 5 рівних груп.
Отже, одного хлопчика і чотирьох дівчаток потрбіно приєднати до тих, що знаходяться на шкільному повір'ї, щоб їх можна було розділити на 5 груп з однакови числом хлопчиків і дівчаток у кожній групі. Ці числа є найменшими, оскільки використовувались числа, найближчі до 11 і 9 такі, що діляться на 5.
Відповідь: 1 хлопчик і 4 дівчаток.
Задача 3. Покупець купив у магазині пакет молока вартістю 9 грн, коробку сиру вартістю 30 грн, 6 тістечок і 3 кг цукру. Ціни одного тістечка і кілограму цукру виражаться цілими числами гривень. Коли касирка вибила чек на 104 гривні, то покупець зажадав перевірити рахунок і виправити помилку. Як визначив покупець, що рахунок неправильний?
Аналізуємо:
Помилку можна виявити, визначивши за цінами куплених товаріві їх кількостями, на яке число має ділитись вартість покупки, і порівняти її з оголошеною вартістю. Покупець визначив, що рахунок неправильний якраз на підставі властивстей подільності цілих чисел.
розв'язання:
Загальна вартість покупки складається з вартості пакету молока, коробки сира, 6 тістечок і 3 кг цукру. Пакет молока коштує 9 грн, число 9 ділиться на 3. Коробка сиру коштує 30 грн, число 30 теж ділиться на 3. Вартість 6 тістечок дорівнює добутку ціни одного тістечка (а це ціле число) на 6. Ця вартість ділиться на 3, оскільки один із множників 6 - ділиться на 3. вартість 3 кг цукру дорівнює добутку ціни 1 кг цукру ( а це теж ціле число) на масу купленого цукру, тобто на 3кг. Тому вартість цукру теж ділиться на 3. Отже, вартість кожного з 4 видів куплених товарів ділиться на 3. Тому їхня сума, тобто загальна вартість покупки ділиться на 3. А число 104, вказане в рахунку не ділиться на 3.
Відповідь: вартість покупки має ділитись на 3, а вона не ділиться
Дільники і кратні
Задача 4. У корзині лежать 20 грибів: білі, маслюки і підберезники. Скільки білих грибів у корзинів, якщо підберезників у 9 разів більше, ніж маслюків?
Аналізуємо:
З умови випливає, що число підберезників є кратним числа 9. Виходячи з цього можна встановити можливі значення для кількості підберезників у корзині, потім для числа маслюків і нарешті для білих грибів. Вибрати з цих значень те, що задовольняє умову допоможе інформація про загальне число грибів у корзині.
розв'язання:
Число підберезників може дорівнювати 9*1, 9*2 .... Оскільки загальне число грибів дорівнює 20, то залишається розглянути тільки два випадки. Число підберезників може дорівнювати 9 або 18. Якщо воно дорівнює 18, то число маслюків - 2, а разом цих двох видів грибів 18+2=20. Виходить, що в корзині немає білих грибів. Це суперечить умові. Залишається один випадок. Число підберезників дорівнює 9, тоді в корзині 1 маслюк, а число білих грибів дорівнює 20-(9+1) = 10.
Відповідь: 10 білих грибів
Ділення з остачею
Задача 5. У кінозалі 28 рядів по 32 місця в кожному. Всі місця пронумеровані. У якому ряду знаходиться місце №375?
Аналізуємо:
З умови задачі випливає, що містя в залі пронумеровані таким чином:
1 ряд - 1-32 місця;
2 ряд - 33-64 місця;
3 ряд - 65-96 місця...
Оскільки в кожному ряді 32 місця, то повна частка від ділення 87 на 32 вказує кількість рядів, всі місця яких враховувались при підрахунку. Отже, номер ряду, де знаходиться місце №87, на 1 більше від неповної частки. В цьому випадку 87=32*2+23, тобто неповна частка дорівнює 2, але тоді номер шуканого ряду дорівнює 2+1=3.
Залишилось тільки врахувати той випадок, коли номер міця ділиться без остачі на кількість місць ряду. В цьому випадку номер ряду, в якому знаходиться задане місце, дорівнює частці від ділення цього номера на число місць в ряду.
1 ряд - 1-32 місця;
2 ряд - 33-64 місця;
3 ряд - 65-96 місця...
Оскільки в кожному ряді 32 місця, то повна частка від ділення 87 на 32 вказує кількість рядів, всі місця яких враховувались при підрахунку. Отже, номер ряду, де знаходиться місце №87, на 1 більше від неповної частки. В цьому випадку 87=32*2+23, тобто неповна частка дорівнює 2, але тоді номер шуканого ряду дорівнює 2+1=3.
Залишилось тільки врахувати той випадок, коли номер міця ділиться без остачі на кількість місць ряду. В цьому випадку номер ряду, в якому знаходиться задане місце, дорівнює частці від ділення цього номера на число місць в ряду.